Seminario de Teoría de Semigrupos de Operadores 2023-2
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María (Valparaíso, Chile).
Organizadores:
- Tomás Cortés (USM)
- Agustín Huerta (USM)
- Felipe Labra (USM)
Descripción
El objetivo del seminario es presentar una introducción a la teoría de semigrupos de operadores. La idea principal es probar la well-posedness del problema de Cauchy abstracto homogéneo y no homogéneo, con la intención de mostrar aplicaciones a problemas de EDP.
Nos juntaremos semanalmente los jueves entre 17:00 y 19:00 en la sala F249 del departamento de matemática. Las sesiones están pensadas para ser preparadas por grupos.
Contenidos
1. Ecuaciones lineales de evolución y semigrupos fuertemente continuos
- Definiciones y resultados preliminares.
- Comportamiento asintótico de $S(t)$.
- Propiedades espectrales del generador infinitesimal.
- Teoremas de Hille-Yosida, Lumer-Phillips y Stone.
- Semigrupos analíticos, diferenciables. Ejemplos.
2. Ecuaciones lineales de evolución no homogéneas
- Planteo del problema y definiciones.
- Existencia y unicidad de soluciones fuertes.
- Perturbaciones de generadores infinitesimales.
- Resultados de regularidad en $C([0,T]; X)$. Ejemplos.
3. Temas extra / aplicaciones
- Teoría variacional de sistemas parabólicos.
- Teoría de interpolación. Espacios de Traza. Caso de semigrupos fuertemente continuos y analíticos. Potencias fraccionarias de operadores disipativos.
- Aplicaciones. Existencia y solución para ecuaciones lineales y no lineales: Kuramoto-Sivashinsky, Korteweg-de Vries, Schrödinger.
Presentaciones
- 07/09/2023 (Felipe Labra y Bryan Pichucho): Definiciones y resultados preliminares. Comportamiento asintótico (parte 1).
- 14/09/2023 (Agustín Huerta y Carolina Rey): Comportamiento asintótico (parte 2). Propiedades espectrales de generadores.
- 28/09/2023 (Tomás Cortés y Nicolás Muñoz): Semigrupos de contracciones. Operadores m-disipativos.
- 05/10/2023 (Tomás Cortés y Nicolás Muñoz): Teoremas de Hille-Yosida y Lumer-Phillips. Caracterizaciones de semigrupos de contracciones. Laplaciano fraccionario espectral.
- 12/10/2023 (Agustín Huerta y Pedro Tobar): Semigrupos analíticos. Semigrupos diferenciables.
- 19/10/2023 (Alex Imba y Jefferson Prada): Problema de Cauchy abstracto. Well-posedness homogéneo y no homogéneo.
- 26/10/2023 (Felipe Labra y Bryan Pichucho): Aplicaciones. Well-posedness Kuramoto-Sivashinsky, Korteweg-de Vries, Schrödinger.
- 09/11/2023 (Tomás Cortés y Felipe Labra): Teoría de interpolación 1: Espacios de traza y promedios.
- 16/11/2023 (Tomás Cortés y Felipe Labra): Teoría de interpolación 2: Interpolación entre el dominio del operador $A$ y el espacio $X$. Potencias fraccionarias de operadores disipativos.
- 23/11/2023 (Alex Imba y Jefferson Prada): Teoría Variacional 1: Ecuaciones diferenciales variacionales. Control distribuido y frontera.
- 30/11/2023 (Nicolás Muñoz y Bryan Pichucho): Teoría Variacional 2: Método de Transposición.
Referencias
La referencia principal será
- A. Bensoussan, G. Da Prato, M. Delfour, S. Mitter. Representation and Control of Infinite Dimensional Systems.
Algunas otras referencias que usamos son
- M. Tucsnak, G. Weiss. Observation and control for operator semigroups.
- A. Pazy. Semigroups of linear operators and applications to PDEs.
- R. Curtain, H. Zwart. Introduction to infinite-dimensional systems theory: A state-space approach